¿Te acuerdas cómo aprendiste a contar? Quizás tuvo que ver una ranita ¿no? En mi caso ese anuro fue de gran ayuda, durante mi educación básica, para comprender múltiples conceptos relacionados con los números y los conjuntos que los contienen.

 

Empecemos con una simple remembranza. Seguro que en tu primer acercamiento al gentil anfibio te dijeron que daba saltos de un paso a la vez, sobre una pequeña recta y así podías acumular tantos brincos como tú quisieras, superando el total de los dedos de tus manos. Este breve enunciado establece dos conceptos fundamentales para el resto de nuestra discusión. El espacio por donde se traslada la ranita es lo que se conoce como recta numérica y los dígitos y guarismos que podemos representar con los saltos, agolpados, es el conjunto de los números naturales.

 

Usando estos simples conceptos podemos apoyarnos para entender la adición de números (naturales), la ranita realizaría en primera instancia los brincos que indiquen el primer término de la suma, seguidos por los del segundo sumando, al final de su recorrido se encontraría con el resultado de la operación.

 

¿Qué pasa si en lugar de adherir dos números lo que buscamos es encontrar la diferencia entre ellos? El pequeño anuro tendría que dar saltos hacia atrás, mientras el primer guarismo sea mayor que el segundo seguiríamos moviendo en la misma sección de la recta numérica, con la que ya estamos familiarizados. Podríamos hacer todas las sustracciones que queramos con estas limitaciones, sin embargo si el minuendo es menor que el sustraendo no podríamos encontrar un resultado en los números naturales. De ahí surge la necesidad de definir un conjunto más amplio donde las restas de cualquier par de números naturales tenga solución, expresado en otros términos, un bloque que contenga al cero* y los números negativos, a este conjunto se le conoce como números enteros o simplemente enteros.

 

Ahora bien qué pasa si queremos seccionar o fraccionar un número entero, como ejemplo una manzana que quieres compartir con una amiga, cada uno podría comer la mitad de la misma. Si queremos ubicar este número en la recta numérica tendríamos que remover la condición a la ranita de dar saltos de un paso por fracciones de este; al hacerlo estaríamos generando la base para el entendimiento de los números racionales (comúnmente conocidos como fraccionarios o quebrados).

 

Hasta este momento todos los conjuntos de números definidos contienen a su conjunto sucesor (es decir los números racionales contienen a los enteros y los enteros a los naturales). Pero qué pasa con los resultados de las raíces cuadradas, cúbicas o del orden que sean. No son un número racional y por lo mismo se incluyen en un conjunto diferente, los números irracionales. Así mismo los guarismos como e (constante de Napier o el número de Euler) o π (pi) se agrupan, juntos con varios más, en un conjunto especial: los números trascendentes, que son un subconjunto de los números irracionales.

 

Cuando nuestro amigable anfibio puede saltar en la recta numérica tanto a elementos de los números racionales como de los irracionales el conjunto al que accede es el de los números reales. Dicho de otra forma, en la recta numérica se puede ubicar cualquier número real, siendo estos la unión de los números racionales y los irracionales (el conjunto intersección de estos es el vacío).

 

Vislumbra además de la ranita original la existencia de otra que tenga su propia recta para saltar y en que en esta se ubiquen los números imaginarios (los que resultan de la solución de las raíces de números negativos). Sí conjuntas esta última, de manera ortogonal, con la recta numérica, donde colocamos a los reales, formaras un plano cartesiano conocido como el plano de Argand (mencionado en una anterior exposición). En este espacio puedes mapear los números complejos, conformados por una parte real y una imaginaria, e incluso los puedes representar como una especie de vector.

 

En esta sencilla disertación hemos revisado el conocimiento acumulado a los largos de muchos siglos en lo que respecta a los conceptos básicos de los números. Abarcando de la noción natural del hombre, por su necesidad de contar, hasta lo complejo, derivado por las necesidades de los descubrimientos en el área de la física y la ingeniería (como lo revisamos en nuestras alocuciones anteriores).

 

Sólo queda decir que sí conjuntas dos rectas numéricas de números reales tendrías el típico plano cartesiano donde se estudia la geometría analítica (bidimensional). Este ejercicio lo puedes ampliar a tantas dimensiones como quieras, pero eso lo dejaremos para un futuro análisis.

 

*El concepto del cero o de la nulidad no es algo trivial, dejaremos su profundización para una posterior discusión.