Lo abstracto de lo abstracto de las matemáticas

“La Matemática tiene la virtud de elevar el alma,
obligándola a razonar acerca de los números." Platón

¿Cuántas ramas de la matemática conoces? Estoy seguro que al menos tres: aritmética, álgebra y geometría analítica (plana). Aunque también creo que la que más te resuena es algebra¹ ¿me equivoco? Al ser la primera que envuelve letras mezcladas con operaciones matemáticas a esta conjunción se le conoce como ecuación,² una equivalencia que contiene algunas cantidades desconocidas (incógnitas). Y quizás, aún más, porque tuviste tu primera aproximación por medio de un libro muy famoso, Algebra de Baldor,³ acompañado por tu profesor de matemáticas de enseñanza media.

Regresando a la cuestión original podemos mencionar varias otras ramas como el cálculo diferencial e integral; probabilidad y estadística; ecuaciones diferenciales y en diferencias, entre varias más. En esta oportunidad quiero que enfoquemos nuestra disertación en el álgebra lineal, un área relativamente nueva, la cual se consolidó a mediados del siglo XIX.⁴

¿Qué tiene de extraordinario dicha rama? De principio sintetiza y facilita el uso de elementos antes descubiertos en las distintas especializaciones de las matemáticas. Es decir, así como las matemáticas son una herramienta para el uso en distintas áreas del conocimiento (como la física, la ingeniería, la economía entre otras), el álgebra lineal es un instrumento de gran aplicación en casi todas las ramas de la matemática moderna; en ella los conceptos son tan importantes como los cálculos, por lo que el pensamiento abstracto adquiere una importancia vital para su entendimiento.

El álgebra lineal estudia conceptos tales como sistemas de ecuaciones lineales, matrices, vectores y de manera más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales.

Adentrémonos en estas concepciones, para ello, primero acotaremos qué es una ecuación lineal: esta es una expresión polinómica de grado 1 en una o varias incógnitas, es decir, es una ecuación de la siguiente forma:

a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_nx_n = b

donde a₁; a₂; … ; a_n son los coeficientes (todos ellos números reales conocidos), x₁; x₂; …; x_n las variables o incógnitas y b el termino independiente o constante (que también es un número real conocido).

Siguiendo esta línea de pensamiento un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto finito de ecuaciones lineales.

Por otro lado una matriz es un arreglo bidimensional de números (complejos en su caso más general) distribuidos en filas y columna, las cuales se acotan por paréntesis o corchetes. Esta estructura numérica consistente en cantidades abstractas que puede sumarse y multiplicarse⁵ entre sí. Dichos arreglos son de la forma:

las dimensiones de la matriz siempre se dan (primero) con el número de filas seguido del número de columnas.

Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal.

En su interpretación más simple, un vector⁶ se utiliza para representar una magnitud física, quedando definido por un módulo, una dirección y un sentido. En un espacio euclídeo⁷ su representación geométrica consiste en segmentos de recta dirigido hacia una cierta posición, asemejándose a una flecha.

En términos más generales, un vector es un ente particular de un conjunto de elementos abstractos.

Así, por ejemplo se denomina vector de dimensión n a una tupla de n números reales (que se conocen como componentes del vector). El conjunto de todos los vectores de dimensión n se representan como Rⁿ. Así un vector v perteneciente a un espacio Rⁿse representa como:

v = (a₁, a₂, … , a_n), donde v ϵ Rⁿ

siendo a₁, a₂, … ,a_n los componentes del vector, que son número reales.

Otros casos serían el sen x que es un vector que corresponde al conjunto de las funciones trigonométricas o un polinomio cualquiera sería un vector que pertenece a las funciones derivables.

La noción de espacio vectorial se utiliza para nombrar a la estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío, V de objetos; una operación interna y una operación externa; y que cumple con diversos requisitos y propiedades iniciales. Esta estructura surge mediante una operación de suma⁸ (interna al conjunto) y una operación de producto⁹ entre dicho conjunto y un cuerpo. A los elementos de un espacio vectorial se les denomina vectores y a los elementos del cuerpo escalares¹⁰ (que pertenecen a los números reales).

Entre los sempiternos espacios vectoriales podemos situar a los euclidianos, que es un caso particular de un espacio de producto escalar. Si ubicamos en específico a los espacios euclidianos R² y R³, serían los conjuntos adecuados para desarrollar tal cual la geometría (analítica) que conocemos, así como el cálculo diferencial e integral, teniendo como consecuencia que podríamos tener espacios vectoriales en Rⁿ donde no se cumplen las reglas que hemos aprendido en las distintas ramas de la matemática, es decir que lo que sabes sobre matemáticas serían sólo un caso particular de las múltiples opciones que posibilita el álgebra lineal.

A pesar de lo abstracto de estas estructuras presentan múltiples aplicaciones en nuestra vida diaria, entre ellas las de los espacios vectoriales a ciertas funciones de compresión de sonido e imágenes, que se basan en las series de Fourier (un tema que deberá ser abordado en profundidad en un futuro cercano) y otros métodos. De alguna manera u otra estos conceptos que parecen tan lejanos de la realidad son lo que le dan significancia a tantos aspectos de nuestra vida cotidiana, como las comunicaciones electrónicas en su conjunto.

Nos falta abordar un último concepto que son las transformaciones lineales, esto lo haremos en nuestra próxima disertación por ser una de las mejores aplicaciones (desde mi punto de vista) que permite el álgebra lineal.

Los principios del álgebra lineal deberían enseñarse desde la etapa más temprana de los estudiantes debido a su capacidad de abstracción, entendiéndola como el uso de la imaginación para comprender de manera natural conceptos complejos, un niño tiene mayor potencial para dichos ejercicios mentales que un joven y no se diga si se compara con una mente adulta.

¹ La palabra árabe al-abr que significa reducción, es el origen de la palabra álgebra.

² Recordemos que la palabra ecuación proviene del latín aequatio que significa igualdad.

³ Un dato curioso (que quizás ya conozcas) es que el autor es cubano y no árabe (como muchos creen).

⁴ Aunque existen antecedentes tan lejanos como el papiro Rhind, el cual fue escrito por el sacerdote egipcio Ahmés hacia el año1650 a.C. y exhumado en Tebas en 1855. Según el propio Ahmés, este texto es una copia de uno más antiguo (2000-1800 a.C.), algunos de cuyos documentos proceden quizá de períodos más antiguos.

⁵ Cabe señalar que en estas estructuras el orden de los factores si altera el producto y existe la posibilidad que ni tan siquiera sea configurable. Para poder efectuar el producto de matrices A* B, el número de columnas de A y el número de filas de B tiene que ser el mismo.

⁶ El término vector es de origen latín vector, vectoris, cuyo significado es el que conduce, transporta.

⁷ Es un tipo de espacio geométrico donde se satisfacen los axiomas de Euclides de la geometría.

⁸Los vectores forman un grupo abeliano con respecto a la adición (la suma es cerrada, asociativa, conmutativa, existe el elemento 0 y los negativos).

⁹ Designado como producto por un escalar.

¹⁰ Los escalares forman un campo con la inclusión del 0 y del 1.

De la recta numérica al plano de Argand

¿Te acuerdas cómo aprendiste a contar? Quizás tuvo que ver una ranita ¿no? En mi caso ese anuro fue de gran ayuda, durante mi educación básica, para comprender múltiples conceptos relacionados con los números y los conjuntos que los contienen.

Empecemos con una simple remembranza. Seguro que en tu primer acercamiento al gentil anfibio te dijeron que daba saltos de un paso a la vez, sobre una pequeña recta y así podías acumular tantos brincos como tú quisieras, superando el total de los dedos de tus manos. Este breve enunciado establece dos conceptos fundamentales para el resto de nuestra discusión. El espacio por donde se traslada la ranita es lo que se conoce como recta numérica y los dígitos y guarismos que podemos representar con los saltos, agolpados, es el conjunto de los números naturales.

Usando estos simples conceptos podemos apoyarnos para entender la adición de números (naturales), la ranita realizaría en primera instancia los brincos que indiquen el primer término de la suma, seguidos por los del segundo sumando, al final de su recorrido se encontraría con el resultado de la operación.

¿Qué pasa si en lugar de adherir dos números lo que buscamos es encontrar la diferencia entre ellos? El pequeño anuro tendría que dar saltos hacia atrás, mientras el primer guarismo sea mayor que el segundo seguiríamos moviendo en la misma sección de la recta numérica, con la que ya estamos familiarizados. Podríamos hacer todas las sustracciones que queramos con estas limitaciones, sin embargo si el minuendo es menor que el sustraendo no podríamos encontrar un resultado en los números naturales. De ahí surge la necesidad de definir un conjunto más amplio donde las restas de cualquier par de números naturales tenga solución, expresado en otros términos, un bloque que contenga al cero* y los números negativos, a este conjunto se le conoce como números enteros o simplemente enteros.

Ahora bien qué pasa si queremos seccionar o fraccionar un número entero, como ejemplo una manzana que quieres compartir con una amiga, cada uno podría comer la mitad de la misma. Si queremos ubicar este número en la recta numérica tendríamos que remover la condición a la ranita de dar saltos de un paso por fracciones de este; al hacerlo estaríamos generando la base para el entendimiento de los números racionales (comúnmente conocidos como fraccionarios o quebrados).

Hasta este momento todos los conjuntos de números definidos contienen a su conjunto sucesor (es decir los números racionales contienen a los enteros y los enteros a los naturales). Pero qué pasa con los resultados de las raíces cuadradas, cúbicas o del orden que sean. No son un número racional y por lo mismo se incluyen en un conjunto diferente, los números irracionales. Así mismo los guarismos como e (constante de Napier o el número de Euler) o π (pi) se agrupan, juntos con varios más, en un conjunto especial: los números trascendentes, que son un subconjunto de los números irracionales.

Cuando nuestro amigable anfibio puede saltar en la recta numérica tanto a elementos de los números racionales como de los irracionales el conjunto al que accede es el de los números reales. Dicho de otra forma, en la recta numérica se puede ubicar cualquier número real, siendo estos la unión de los números racionales y los irracionales (el conjunto intersección de estos es el vacío).

Vislumbra además de la ranita original la existencia de otra que tenga su propia recta para saltar y en que en esta se ubiquen los números imaginarios (los que resultan de la solución de las raíces de números negativos). Sí conjuntas esta última, de manera ortogonal, con la recta numérica, donde colocamos a los reales, formaras un plano cartesiano conocido como el plano de Argand (mencionado en una anterior exposición). En este espacio puedes mapear los números complejos, conformados por una parte real y una imaginaria, e incluso los puedes representar como una especie de vector.

En esta sencilla disertación hemos revisado el conocimiento acumulado a los largos de muchos siglos en lo que respecta a los conceptos básicos de los números. Abarcando de la noción natural del hombre, por su necesidad de contar, hasta lo complejo, derivado por las necesidades de los descubrimientos en el área de la física y la ingeniería (como lo revisamos en nuestras alocuciones anteriores).

Sólo queda decir que sí conjuntas dos rectas numéricas de números reales tendrías el típico plano cartesiano donde se estudia la geometría analítica (bidimensional). Este ejercicio lo puedes ampliar a tantas dimensiones como quieras, pero eso lo dejaremos para un futuro análisis.

*El concepto del cero o de la nulidad no es algo trivial, dejaremos su profundización para una posterior discusión.

La realidad de los números imaginarios parte dos

No entenderías el transcurrir de tus días sin la energía eléctrica ¿o me equivoco? Indispensable para realizar tareas domésticas o laborales; y primordialmente para tantas actividades recreativas. A lo largo de los siglos, grandes científicos y prácticos pensadores realizaron múltiples aportes a este campo (pero en esta ocasión no entraré en detalle). Es extraño visualizar que apenas a finales del siglo XIX surgieron las primeras aplicaciones prácticas, siendo la telefonía y el alumbrado público las más destacadas, en ese momento de la historia.

Las variables más básicas utilizadas en los circuitos eléctricos son la corriente eléctrica (I), el voltaje (V) y la impedancia (Z). La ley de Ohm (de corriente alterna) relaciona todas estas variables:

V = I*Z

El voltaje, también denominado como tensión o diferencia de potencial, es una magnitud física que impulsa a los electrones a lo largo de un conductor en un circuito eléctrico cerrado.

Por su parte la corriente eléctrica no es otra cosa que la circulación de cargas o electrones a través de un circuito eléctrico cerrado, que se mueven siempre del polo negativo al polo positivo de la fuente de suministro (por aquello de que las cargas negativas se ven atraídas por las positivas).

Realizaremos nuestra disertación sobre la última variable, la impedancia. Esta es una medida de oposición que presenta un circuito al flujo de una corriente, cuando se aplica una tensión eléctrica al mismo. Este es un término general que se puede referir a una resistencia, una reactancia (capacitancias e/o inductancias) o una combinación de estas:

Z = R + jX

Donde R es la parte resistiva o real de la impedancia y X es la parte reactiva o imaginaria de la misma, es decir que la impedancia es un número complejo.* Es importante señalar que existen dos clases o tipos de reactancias: la reactancia inductiva o X_L; debida a la existencia de inductores (o bobinas) y la reactancia capacitiva o X_C; por la existencia de capacitores (o condensadores).

Derivado de lo anterior podemos intuir que tanto el voltaje como la corriente alterna son variables complejas, compuestas de una parte real y una imaginaria. Lo que nos lleva a un cuestionamiento ¿La compañía de electricidad puede cobrarte por algo que es imaginario? La respuesta es sí, sin embargo en el caso del consumo doméstico no se hace, el medidor de nuestras casas sólo cuantifica la parte real de nuestro consumo; en el caso de la industria se tiene tanto el medidor de la parte real como uno para la parte imaginaria.

No por ello la corriente eléctrica que circula en nuestros hogares deja de tener una parte imaginaria y como algún día me dijo un profesor, la parte imaginaria de la corriente electrocuta igual que la parte real.

Como un suceso relacionado te comento que en las plantas donde se fabrican los capacitores se tiene el máximo cuidado en su manejo. Los capacitores o condensadores son el elemento eléctrico análogo a los resortes en la mecánica, los dos acumulan energía en sus estructuras la cual es imposible de detectar a simple vista. Un resorte en comprensión muchas veces luce igual que uno en elongación y si uno lo intenta manipular este puede disipar la energía contenida hasta lastimar al usuario del mismo. Igual ocurre con un capacitor, el cual es como una pila recargable: si uno toma las dos terminales del mismo (cerrando un circuito) con la mano sin protección puede recibir una descarga eléctrica y dependiendo de la capacidad de este será el daño infligido, llegando al extremo de matar al usuario, sin importar que su carga sea real o imaginaria.

Las impedancias complejas son un entramado de dos áreas de conocimiento: la matemática y la ingeniería, su escrutinio se conciben como un problema interdisciplinario. La importancia de este concepto radica en que, posterior al desarrollo de la corriente alterna para la generación de energía a gran escala, fue posible el cálculo y diseño de circuitos para los dispositivos electrónicos modernos.

Para ultimar esta disección, puntualizo que el concepto abstracto de número complejo tiene gran relevancia en nuestra cotidianidad y no sólo es un artilugio para el esparcimiento de los matemáticos.

*Se usa j para designar la raíz de -1 en lugar i para no confundirla con la corriente eléctrica.

La realidad de los números imaginarios parte uno

¿Te imaginas a los matemáticos celebrando concursos de problemas en las plazas públicas seguidos con gran interés por miles de ciudadanos? Inverosímil en nuestros días ¿no?; aunque fue algo común en la primera mitad del siglo XVI en Italia, en ciudades como Bolonia o Milán. Los desafíos empezaban cuando se dejaba un cartel, con el reto, en la puerta de alguna iglesia y concluían en un acto público con el enfrentamiento dialéctico de los matemáticos, seguido por cientos de espectadores. Algunos de los problemas (matemáticos) objeto de dichas disputas estuvieron relacionados con la búsqueda de las soluciones de las ecuaciones algebraicas de tercer y cuarto grado. Durante siglos, matemáticos, de la talla de Gauss y Euler, trataron de dar con una fórmula general para resolverlas, durante este proceso surgieron conceptos fundamentales como los números imaginarios.

Uno de los participantes involucrados en estos retos intelectuales fue el ingeniero hidráulico Rafael Bombelli (1526, Bolonia – 1572, Roma). Que aprovechando sus descansos, motivados por la paralización momentánea de alguna obra de ingeniería, se enfocó en escribir un tratado de álgebra. En sus estudios algebraicos, Bombelli de forma marginal, dio con una de sus principales contribuciones a las matemáticas: el descubrimiento de los números complejos.

Originalmente estos aparecieron al resolver las ecuaciones de segundo grado cuyas soluciones implican una raíz cuadrada de un número negativo. Las soluciones estaban en un cuerpo de números desconocidos hasta entonces: los números imaginarios. Sin embargo, estos a su vez sólo formaban un subconjunto del universo de soluciones: los números complejos. Hay que decir que todo número imaginario es un número complejo. De forma general los números complejos se conforman de la unión de los números reales y los imaginarios, con la particularidad que la intersección de estos conjuntos es el (conjunto) vacío. Es decir un número complejo tienen una parte real y otra imaginaria, y se pueden escribir como z= x + yi, donde i es la raíz de -1, la unidad imaginaria (que en realidad es el único número realmente imaginario, los demás son un producto de este con un número real).

Bombelli, no solo los descubrió, fue el encargado del desarrolló de la aritmética de los números complejos, generando las reglas para su suma y su multiplicación. En palabras del ilustre matemático Gottfried Leibniz, creador del cálculo diferencial (en otro momento lidiaremos con la disputa de la paternidad del cálculo con Sir Isaac Newton), Rafael Bombelli se adelantó a su tiempo.

Aunque había antecedentes, como los del italiano Gerolamo Cardano, los matemáticos no habían sido capaces de ver la utilidad de esta construcción abstracta, pero, Bombelli, con su mentalidad ingenieril, ideó los números complejos porque le resultaban indispensables para sus cálculos. Un par de siglos después Leonhard Euler desarrollo un teorema que se conoce como la fórmula de Euler o relación de Euler, que es la reciprocidad de la forma trigonométrica de los números complejos y su forma exponencial, muy útil esta última para multiplicar o dividir dichos números. Algunas décadas después Jean-Robert Argand publicó la idea de lo que hoy se conoce como plano de Argand, que es el espacio donde podemos mapear (graficar) los número complejos, obviamente la recta numérica no era el sitio propicio por la naturaleza dual de este conjunto de números (cabe señalar que los números complejos carecen de un orden).

Podría seguir enunciando las contribuciones de grandes personajes a este maravilloso artilugio matemático, pero a grandes rasgos he tocado los puntos principales. Sobre las aplicaciones prácticas ahondare en una próxima disección, sólo queda señalar que de la necesidad de nuevos instrumentos para tratar fenómenos físicos o aplicaciones a la ingeniería siempre surgen avances matemáticos.

Fuentes:

De León, M. y Timón, Á. (2018, 2 de enero). El matemático que inventó los números complejos. Café y Teoremas. El País edición digital, pp. A1.

Euler, Leonhard (1768) – Mínguez Pérez, Carlos (ed.) (1990). Cartas a una Princesa de Alemania sobre diversos temas de Física y Filosofía. Prensas de la Universidad de Zaragoza.

Macho, M. (2019, 18 de julio). Jean-Robert Argand y los números complejos. Centro virtual de divulgación de las matemáticas.